먼 고대 그리스, 제논이라는 백수 건달이 살고있었다.
제논 : 그거 사실 님 눈의 착각임 ㅋ 아무도 결승선에 못도달함
제논 : 아 님아 들어보셈. 달리기 선수가 결승선에 도달하려면
일단 출발선과 결승선의 1/2 지점에 도착해야겠죠?
제논 : 그러면 다시 거기에서 결승선까지의 1/2 지점까지
도달 해야겠죠? 도달했으면 다시 또 1/2 지점까지 도달해야
되겠죠? 또 다시 결승선까지 1/2... 또 1/2... 하면
결국 무한히 가까워지기만 할뿐 도달하진 못하는거 아닙니까.
이렇게 말입니다. 그러면 아무리 무한한 시간이 흘러
달리고 달린다해도 결승선에는 도달 못하겠죠?
제논 : 결국 결승선엔 죽었다 깨어나도 못도달함 ㅋㅋ
님이 어제 잘못본거임 PPAP~ ㅋㅋㅋㅋㅋ
제논 : 에베베베베~ 반박해봐! 못하쥬 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
꼬우면 반박 해보시던가 줫밥새끼야 ㅋㅋㅋㅋㅋ
시민 : (ㅂㄷㅂㄷ....)
이 제논의 역설은 직관적으로는 반론이 되지만
논리적으로는 반론이 불가능했다.
결국 제논은 시민들을 궤변으로 현혹시킨다는 이유로 사형당한다.
거두절미하고 왜 그당시에는 제논의 역설을 해결하지 못했는가?
답은 '유한을 무한번 더하면 유한이 되는가?' 에 대한
대답을 하지 못했기 때문이다.
그리스 시대에 길이는 무조건 유한한 것으로 취급되었다.
점 역시 길이로 취급되었다.
위의 나온 제논의 역설을 수식으로 정리하면
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16............ = ? 이다.
위의 식을 현대수학으로 계산하면 1 이고
이는 그당시에도 직관적으로는 파악하고 있던 사실이였다.
하지만 유한한 수를 무한번 더하면 무한이 나와야 한다는것
역시 당시의 상식이였다.
두 상식의 충돌을 해결하지 못한채 시간이 흘러 흘러 2천년뒤
무한급수라는 개념을 도입해 이를 설명하려 시도한다.
뉴턴 : 에효 문돌이 ㅉㅉ 알기쉽게 그림으로 설명해줄게
짜잔. 종이의 반, 그 반의 반, 그 반의 반의 반.....
이렇게 무수히 더하면 종이 한장이 되지? 자 어때 깔끔하지?
시민 : 음... 알거같긴한데 정확히 왜 저러는거에요?
뉴턴 : 그야 한없이 작은수를 끊임없이 더하니
결국 유한이 되는거지 ㅉㅉ 문돌이 수준
수학자 : 님 작은수를 한없이 더하면 어떤수에
그냥 계속 가까워지는거 아니에요?
1/2 = 1/2
1/2 + 1/4 = 3/4
1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8
.....................
이렇게 한없이 1에 가까워지는거지
결코 1은 되지 않는거 아닙니까?
수학자 : 아니 님 종이 뒤질때까지 계속 오려서 함 붙여보세요.
한없이 가까워질 망정 종이 한장은 결코 완성못하는게
당연한 거 아니에요?
우주가 끝날때까지 계속 붙여도 조그마한 조각정도는
하나 남을것 아닙니까?
수학자 : ????
그후 200년이 더흘러 칸토어에 의해서 완전히 해결된다.
칸토어 : 애초에 제논이 세운 전제 자체가 잘못됬음.
우리가 셀 수있는 수의 체계와 셀 수없는 수의 체계를
분리해서 봐야함.
길이는 셀 수없는 수에 속하니 길이를 셀 수 있는 수로
취급한 전제부터가 잘못됨
이 그림에서 1,2,3.....에 해당하는 숫자 점이 많아
아니면 그냥 수직선위에 찍혀있는 점의 개수가 많아?
수학자 : 당연히 수직선 위에 찍혀있는 점의 개수지.
수없이 많으니까...
칸토어 : 아 그래? 그러면 이 수직선의 길이가 무한할때
전체적으로 보면 어느게 더 많을까?
수학자: 음..... 둘다 무한개지만 그냥 찍혀있는 점의 개수가
더 많을 것 같긴한데......
칸토어 : 예아~ 니 말이 맞다 이기. 그리고 내가 그거
수학적으로 엄밀히 “증명”함
결국 '무한은 다같은 무한이 아니라 무한 사이에도 서열이 있다.'
이 소리야.
칸토어 : ㅇㅇ 이를 바로 제논의 역설에 적용할 수 있음
달리기 선수가 달려가는 길이인 '선분'은 '점'이 무한개 모인거지?
근데 선분은 아무리 쪼개도 쪼개도 계속 무한임.
왜냐하면 선분에 포함되어있는 점의 수는 자연수의 개수보다
더 서열이 높은 무한이거든.
둘이 아예 다른 종류인거야.
수학자 : ㅇㅎ. 그럼 선분에 있는 점을 우리가 하나,둘,셋....
이렇게 세는것 자체가 불가능하다는거네?
시민 : 아하! 너무 많아서 세는것 자체가 의미가 없다는 소리군요?
칸토어 : 땡! '아예 셀 수가 없어' 점들은
애시당초 셀 수있는 개념이 아니라니까?
님 흐르는 물에 물방울이 몇개인지 셀 수 있음?
애초에 선분이란건 자연수랑 아예 개념이 다른거야.
둘다 무한이지만 종류가 다른 무한이야.
칸토어 : ㅇㅇ 셀 수 없는 선분 자체를
셀 수 있는것 처럼 취급하니 이런 사단이 일어난거야.
애시당초 전제부터 틀렸음!
제논의 역설은 시작부터 잘못됨. “논.파.완.료”
수학자 : 수학이란 원래 그렇습니당 ㅎㅎ
이렇게 2500년의 세월이 흘러 제논의 역설은 논파된다.
커뮤맨 작성
